如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证:四边形ABCD是正方形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:07:44
如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证:四边形ABCD是正方形
如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD
求证:四边形ABCD是正方形
如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证:四边形ABCD是正方形
由点O向AB、BC、CD、AD作垂线,垂足依次为E、F、G、H.
由勾股定理,有:
OA^2=AH^2+OH^2、OA^2=AE^2+OE^2、OB^2=BE^2+OE^2、OB^2=BF^2+OF^2、
OC^2=CF^2+OF^2、OC^2=CG^2+OG^2、OD^2=DG^2+OG^2、OD^2=DH^2+OH^2,
将上述各式左右分别相加,得:
2(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2)
=(AH^2+OH^2)+(AE^2+OE^2)+(BE^2+OE^2)+(BF^2+OF^2)
+(CF^2+OF^2)+(CG^2+OG^2)+(DG^2+OG^2)+(DH^2+OH^2),
而OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,
∴(AH^2+OH^2)+(AE^2+OE^2)+(BE^2+OE^2)+(BF^2+OF^2)
+(CF^2+OF^2)+(CG^2+OG^2)+(DG^2+OG^2)+(DH^2+OH^2)=4·····①
∵S(四边形ABCD)=1,
∴S(△OAB)+S(△OBC)+S(△OCD)+S(△OAD)=1,
∴(1/2)[(AE+BE)OE+(BF+CF)OF+(CG+DG)OG+(AH+DH)OH]=1,
∴2[(AE+BE)OE+(BF+CF)OF+(CG+DG)OG+(AH+DH)OH]=4,
∴2AH×OH+2AE×OE+2BE×OE+2BF×OF+2CF×OF+2CG×OG+2DG×OG+2DH×OH=4·····②
①-②,得:
(AH-OH)^2+(AE-OE)^2+(BE-OE)^2+(BF-OF)^2
+(CF-OF)^2+(CG-OG)^2+(DG-OG)^2+(DH-OH)^2=0,
∴AH=OH、AE=OE、BE=OE、BF=OF、CF=PF、CG=OG、DG=OG、DH=OH,
∴AH=DH=OH、AE=BE=OE、BF=CF=OF、CG=DG=OG,
∴OA=OD、OA=OB、OB=OC、OC=OD,∴OA=OB=OC=OD.
∵AH=DH=OH、AE=BE=OE、BF=CF=OF、CG=DG=OG,
∴AD、AB、BC、CD依次为△OAD、△OAB、△OBC、△OCD外接圆的直径,
∴OA⊥OD、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OD,而OA=OB=OC=OD,
∴AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.
求证:四边形ABCD什么,能不能说清楚