如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证：四边形ABCD是正方形

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/01 07:07:44
如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证：四边形ABCD是正方形
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如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证：四边形ABCD是正方形
如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD
求证：四边形ABCD是正方形

如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证：四边形ABCD是正方形
由点O向AB、BC、CD、AD作垂线,垂足依次为E、F、G、H.
由勾股定理,有：
OA^2＝AH^2＋OH^2、OA^2＝AE^2＋OE^2、OB^2＝BE^2＋OE^2、OB^2＝BF^2＋OF^2、
OC^2＝CF^2＋OF^2、OC^2＝CG^2＋OG^2、OD^2＝DG^2＋OG^2、OD^2＝DH^2＋OH^2,
将上述各式左右分别相加,得：
2（OA^2＋OB^2＋OC^2＋OD^2）
＝（AH^2＋OH^2）＋（AE^2＋OE^2）＋（BE^2＋OE^2）＋（BF^2＋OF^2）
　＋（CF^2＋OF^2）＋（CG^2＋OG^2）＋（DG^2＋OG^2）＋（DH^2＋OH^2）,
而OA^2＋OB^2＋OC^2＋OD^2＝2,
∴（AH^2＋OH^2）＋（AE^2＋OE^2）＋（BE^2＋OE^2）＋（BF^2＋OF^2）
　＋（CF^2＋OF^2）＋（CG^2＋OG^2）＋（DG^2＋OG^2）＋（DH^2＋OH^2）＝4·····①
∵S(四边形ABCD)＝1,
∴S(△OAB)＋S(△OBC)＋S(△OCD)＋S(△OAD)＝1,
∴（1/2）［（AE＋BE）OE＋（BF＋CF）OF＋（CG＋DG）OG＋（AH＋DH）OH］＝1,
∴2［（AE＋BE）OE＋（BF＋CF）OF＋（CG＋DG）OG＋（AH＋DH）OH］＝4,
∴2AH×OH＋2AE×OE＋2BE×OE＋2BF×OF＋2CF×OF＋2CG×OG＋2DG×OG＋2DH×OH＝4·····②
①－②,得：
（AH－OH）^2＋（AE－OE）^2＋（BE－OE）^2＋（BF－OF）^2
　＋（CF－OF）^2＋（CG－OG）^2＋（DG－OG）^2＋（DH－OH）^2＝0,
∴AH＝OH、AE＝OE、BE＝OE、BF＝OF、CF＝PF、CG＝OG、DG＝OG、DH＝OH,
∴AH＝DH＝OH、AE＝BE＝OE、BF＝CF＝OF、CG＝DG＝OG,
∴OA＝OD、OA＝OB、OB＝OC、OC＝OD,∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AH＝DH＝OH、AE＝BE＝OE、BF＝CF＝OF、CG＝DG＝OG,
∴AD、AB、BC、CD依次为△OAD、△OAB、△OBC、△OCD外接圆的直径,
∴OA⊥OD、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OD,而OA＝OB＝OC＝OD,
∴AD＝AB＝BC＝CD,∴四边形ABCD是正方形.

求证:四边形ABCD什么，能不能说清楚

如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD求证：四边形ABCD是正方形 四边形ABCD内有一点O,O点到四边形的垂线都是4厘米,四边形的周长是36厘米,则四边形ABCD的面积是多少? 已知圆O的圆心为O,半径为3,点M为圆O内的一个定点,OM=根号5,AB,CD是圆O的两条相互垂直的弦,垂足为M.1,当AB=4时,求四边形ABCD的面积2,当AB变化时,求四边形ABCD的面积最大值 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点O在四边形ABCD的内部 已知点O为四边形ABCD对角线交点,△AOB的面积为1,则平行四边形的面积为 四边形abcd是圆o的内接四边形 如图,E是ABCD内任一点,若S四边形ABCD＝6,则图中阴影部分的面积为 如图,E是ABCD内任一点,若S四边形ABCD＝6,则图中阴影部分的面积为? 试证如果O是面积为S的四边形ABCD内一点且2S=OA^2+OB ^2+OC^2+OD^2,则正方形ABCD,且O是中心 四边形ABCD是圆O的内接梯形,AB平行CD,AB=8cm,CD=6cm,圆O的半径为5cm,求梯形ABCD的面积.但有一点不懂：它不是说是内接梯形吗为什么还要分情况需要分两种情况讨论(1)圆心O在梯形内部,过点O做梯形 如右图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,AD为圆O的直径,延长AB、DC相交于点P.已知△PAD的面积为289,四边形ABCD的面积为225,则sin∠P=亲爱的大哥哥大姐姐们， 谢谢！中考生！ 四边形ABCD,AC与BD交于O点,三角形AOB面积为1,三角形COD面积为3,求四边形ABCD面积求四边形ABCD面积的最小值 已知：平行四边形ABCD中,E是CD的中点,AE,BD交于点O,三角形DOE的面积是1,则四边形BOEC的面积为? 四边形ABCD内有一点O,O点到四条边的垂线长都是4厘米,已知四边形周长是36厘米,四边形ABCD的面积是... 已知四边形ABCD为圆O的内接四边形,且AC=BD,AC,BD交于点P,S三角形ABP为4,S三角形APD为1,求S四边形ABCD没图,两解,说了两解,一楼你那是一解,还有可能是对角线另一边的呢,那个算下来等于多少哈? 四边形ABCD内有一点O,O点到四条边的垂线长都是4厘米,已知四边形周长是36厘米,四边形ABCD的面积是多少 四边形abcd内有一点o,o点到四条边垂线长都是4厘米,已知四边形周长是36厘米,四边形ABCD的面积是多少平方米如图： 正方形ABCD的边长为1 M为AD中点 N为BC中点 AN和CM相交于点O 则四边形AOCD的面积是?