一道初中数学(图) 一道证明角等的题已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 06:42:36
一道初中数学(图) 一道证明角等的题已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF
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一道初中数学(图) 一道证明角等的题已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF
一道初中数学(图) 一道证明角等的题
已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF

一道初中数学(图) 一道证明角等的题已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF
证明:作MC⊥AC于点C,交AF的延长线于点M.
可证∠MAC=∠DBA,再由AB=CA,∠BAD=∠ACM=90°证△ABD≌△CAM得∠ADB=
∠M,AD=CM;然后由CF=CF,∠MCF=∠DCF=45°,CM=AD=CD,证△CDF≌△CMF得,
∠M= ∠CDF,所以∠ADB=∠CDF.

证明:过A、D分别做BC的垂线,垂足分别为G、H.
设AG=1,那么CG=1,DH= 12,BH= 32,
tan∠DBH= 13,
又∠GAF=∠DBH,∴GF= 13AG= 13,
FH=GH-GF= 12- 13= 16,
tan∠FDH= FHDH= 13
∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C,
∠CDF═∠FDH+∠CDH,
∴∠ADB=∠CDF.

这题不难 ,思路如下:
(1)过点A作AK⊥BC,与BD交于点K
(2)AB=AC,∠BAK=∠ACF,并由AE⊥BD易得∠ABK=∠CAF,从而证得ΔABK≌ΔCAF
(3)AK=CF,AD=CD,∠KAD=∠FCD=45°,ΔKAD≌ΔFCD
(4)∠ADB=∠CDF