数列难题求高手解决.定义数列{an}:an为正整数n中最大的奇因数,例如a7=7,a18=9,Sn为数列{an}的前n项和 (1)求S8,S16,S32;(2)求证:{S2^n-S2^(n-1)}为等比数列(2^n为下标);(3)求证:对任意的n属于N*,成立不
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 02:49:35
![数列难题求高手解决.定义数列{an}:an为正整数n中最大的奇因数,例如a7=7,a18=9,Sn为数列{an}的前n项和 (1)求S8,S16,S32;(2)求证:{S2^n-S2^(n-1)}为等比数列(2^n为下标);(3)求证:对任意的n属于N*,成立不](/uploads/image/z/7094003-59-3.jpg?t=%E6%95%B0%E5%88%97%E9%9A%BE%E9%A2%98%E6%B1%82%E9%AB%98%E6%89%8B%E8%A7%A3%E5%86%B3.%E5%AE%9A%E4%B9%89%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%3Aan%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0n%E4%B8%AD%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%9B%A0%E6%95%B0%2C%E4%BE%8B%E5%A6%82a7%3D7%2Ca18%3D9%2CSn%E4%B8%BA%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C+%281%29%E6%B1%82S8%2CS16%2CS32%3B%282%29%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%7BS2%5En-S2%5E%28n-1%29%7D%E4%B8%BA%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BC%882%5En%E4%B8%BA%E4%B8%8B%E6%A0%87%EF%BC%89%3B%283%29%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84n%E5%B1%9E%E4%BA%8EN%2A%2C%E6%88%90%E7%AB%8B%E4%B8%8D)
数列难题求高手解决.定义数列{an}:an为正整数n中最大的奇因数,例如a7=7,a18=9,Sn为数列{an}的前n项和 (1)求S8,S16,S32;(2)求证:{S2^n-S2^(n-1)}为等比数列(2^n为下标);(3)求证:对任意的n属于N*,成立不
数列难题求高手解决.
定义数列{an}:an为正整数n中最大的奇因数,例如a7=7,a18=9,Sn为数列{an}的前n项和 (1)求S8,S16,S32;(2)求证:{S2^n-S2^(n-1)}为等比数列(2^n为下标);(3)求证:对任意的n属于N*,成立不等式1/S2^1+1/S2^2+…1/S2^n<1
数列难题求高手解决.定义数列{an}:an为正整数n中最大的奇因数,例如a7=7,a18=9,Sn为数列{an}的前n项和 (1)求S8,S16,S32;(2)求证:{S2^n-S2^(n-1)}为等比数列(2^n为下标);(3)求证:对任意的n属于N*,成立不
基本要用归纳猜想
n=8以上都太繁琐 先做8以内
s2=a(1)+a(2)=2,
s4=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=2+3+1=6.
s8=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+a(6)+a(7)+a(8)
=s2+g(5)+a(6)+a(7)+a(8)=6+5+3+7+1=6+16=22
应该可以发现 a(6)=a(3) a(8)=a(4)
猜想n≥2时,S(2^n)=S[2^(n-1)]+4^(n-1).
证明:若k为奇数,则a(k)=k;
若k为偶数,设k=j*2^i(j为奇数,i∈N),则a(k)=a(k/2)=a(j)=j
由此可知:n≥2时,
S(2^n)=a(1)+a(2)+a(3)+…+a(2^n)
=1+3+5+…[2^(n-1)]+a(2)+a(4)+a(6)+…a(2^n)
=
2^(n-1)[1+(2^n-1] /2 +a(1)+a(2)+…a[2^(n-1)]
=4^(n-1)+S[2^(n-1)].
当n≥2时,S(2^n)=S[2^(n-1)]+4^(n-1)成立
于是 :
(1)S8=22;S16=86;S32=342.
(2){S2^n-S2^(n-1)}=4^(n-1) 是公差为4的等比数列.
(3)由(2)知,当n≥2时,{S2^n-S2^(n-1)}=4^(n-1),故有S2^n={S2^n-S2^(n-1)}+{S2^(n-1)+S2^(n-2)}+…+(S4-S2)+S2=4^(n-1)+4^(n-2)+…+4+2={4[1-4^(n-1)]/1-4 }+2=(4^n+2)/3
an =(4^n+2) /3 ;
1/S2^1+1/S2^2+…1/S2^n=1/2+1/6+.+3/(4^n+2)<1/2+1/4+.+1/4^(n-1)
不等式右边=1
证毕