作业帮请高手帮忙证明一道定积分题 ,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 05:08:26
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请高手帮忙证明一道定积分题 ,
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∫[1,a] f(x^2+a^2/x^2)dx/x=∫[1,a] f((x+a/x)^2-2a)dx/x
∫[1,a]f(x+a^2/x)dx/x=∫[1,a] f((√x+a/√x)^2-2a) dx/x
=∫[1,a]f((√x+a/√x)^2-2a) * 2√xd√x/(√x)^2
=∫[1,a]f ((√x+a/√x)^2-2a)* 2d√x/(√x)
取√x=y
=∫[1,a]f((y+a/y)^2-2a)*2dy/y
=2∫[1,a]f((y+a/y)^2-2a) dy/y
因此
2∫[1,a]f(x^2+a^2/x^2)dx/x=∫[1,a] f(x+a^2/x)dx/x
等式左边分解为从1到根号a和从根号a到a的两个积分之和，然后对从根号a到a的积分做变量替换a^2/x^2=y^2，恰好变为从1到根号a的积分，被积函数完全一样，也就是相加的这两个积分是相等的。再对积分做变量替换x^2=y，就得到等式右边了。你自己做做就可以了。...
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等式左边分解为从1到根号a和从根号a到a的两个积分之和，然后对从根号a到a的积分做变量替换a^2/x^2=y^2，恰好变为从1到根号a的积分，被积函数完全一样，也就是相加的这两个积分是相等的。再对积分做变量替换x^2=y，就得到等式右边了。你自己做做就可以了。
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