一道关于线性代数的证明,如图,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/06/21 06:28:34
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因为AB=0,所以R(A)+R(B)≤n.(1)
又因为R(B)=n
那么,0≤R(A)+n≤n
即,R(A)=0
因此,A=0
若,AB=B
移项,AB-B=0
即：(A-E)B=0
根据第一问,A-E=0
因此,A=E
(1)式的证明：
考虑两个线性空间：
(1) B的列空间,即B的各列向量张成的线性空间.它的维数即是B的列秩,等于B的秩,即R(B).
(2) Ax=0的解空间,即Ax=0的所有解组成的线性空间.由基本定理,它的维数=n-R(A).
现在有AB=0,所以B的各列向量均是Ax=0的解.这说明(1)是(2)的子空间,所以(1)的维数≤(2)的维数.得r(B)≤n-r(A),即r(A)+r(B)≤n.
也可以这样看,
R(A)+R(B)≤R(AB)+n
而AB=0,即R(AB)=0,故(1)成立
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