三棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA'与下底面ABC两邻边AB AC所成的角都是60°1.求点A'到平面B'BCC'的距离;2.若A'在下底面内的射影O是△ABC的外心,求这三棱柱的侧面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 03:00:11
![三棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA'与下底面ABC两邻边AB AC所成的角都是60°1.求点A'到平面B'BCC'的距离;2.若A'在下底面内的射影O是△ABC的外心,求这三棱柱的侧面积](/uploads/image/z/13798027-19-7.jpg?t=%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABC-A%27B%27C%27%E7%9A%84%E5%BA%95%E9%9D%A2%E6%98%AF%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BA2%E7%9A%84%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C%E4%BE%A7%E6%A3%B1AA%27%E4%B8%8E%E4%B8%8B%E5%BA%95%E9%9D%A2ABC%E4%B8%A4%E9%82%BB%E8%BE%B9AB+AC%E6%89%80%E6%88%90%E7%9A%84%E8%A7%92%E9%83%BD%E6%98%AF60%C2%B01.%E6%B1%82%E7%82%B9A%27%E5%88%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2B%27BCC%27%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB%3B2.%E8%8B%A5A%27%E5%9C%A8%E4%B8%8B%E5%BA%95%E9%9D%A2%E5%86%85%E7%9A%84%E5%B0%84%E5%BD%B1O%E6%98%AF%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E5%A4%96%E5%BF%83%2C%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1%E7%9A%84%E4%BE%A7%E9%9D%A2%E7%A7%AF)
三棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA'与下底面ABC两邻边AB AC所成的角都是60°1.求点A'到平面B'BCC'的距离;2.若A'在下底面内的射影O是△ABC的外心,求这三棱柱的侧面积
三棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA'与下底面ABC两邻边AB AC所成的角都是60°
1.求点A'到平面B'BCC'的距离;
2.若A'在下底面内的射影O是△ABC的外心,求这三棱柱的侧面积
三棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA'与下底面ABC两邻边AB AC所成的角都是60°1.求点A'到平面B'BCC'的距离;2.若A'在下底面内的射影O是△ABC的外心,求这三棱柱的侧面积
1、设BC的中点为E,B'C'的中点为F,连结EF.
∵侧棱AA'与下底面ABC两邻边AB AC所成的角都是60°,∴cosBAA’=cosBAE·cosEAA’,
∠BAA’=60°,∠BAE=30°,
∴cosEAA’=√3/3,∴sinEAA’=√6/3.
点A'到平面B'BCC'的距离等于平行四边形AEFA’AA’与EF间的距离.
由点E向AA’作垂线交AA’于H,Rt△AEH中,EH=AE·sinEAA’=√3·sinEAA’=√2,
∴所求距离为√2.
2、若A'在下底面内的射影O是△ABC的外心,∵底面是正三角形,∴也是三角形中心.
OA=2√3/3,
Rt△AOA’中,AA’=OA/cos60°=4√3/3,∴等腰三角形ABA’面积为√39/3.
四边形BCC’B’是矩形,面积8√3/3,
∴三棱柱的侧面积(8√3/3)+4×√39/3
=(8√3+4√39)/3.
本题应注意有一个侧面BCC’B’是矩形,这由BC⊥AC,BC⊥OA’得到BC⊥AA’,AA’‖BB’,从而BC⊥BB’.