如图,已知在正方形ABCD中,∠EDF=45°,求证:EF=AE+CF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 17:02:09
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如图,已知在正方形ABCD中,∠EDF=45°,求证:EF=AE+CF
如图,已知在正方形ABCD中,∠EDF=45°,求证:EF=AE+CF
如图,已知在正方形ABCD中,∠EDF=45°,求证:EF=AE+CF
延长BC至H,使得CH=AE,连接DH
在三角形DCH和三角形DAE中,可以证明这两三角形全等,则:
∠HDC=∠ADE----------------------------(1)
DE=DH ------------------------------------(2)
因为:∠EDF=45°,所以∠ADE+∠CDF=45°
所以:∠HDF=∠HDC+∠CDF=∠ADE+∠CDF=45° --------------------------(3)
在三角形DHF和三角形DEF中,有:
∠HDF=∠EDF
DF=DF
DH=DE
则这两个三角形全等,所以:
EF=HF=HC+CF=AE+CF
可以将△ADE顺时针旋转90度后为△CDE'
求得△DEF全等于△DFE'
就可证得EF=AE+CF
延长BA至G,使AG=CF,连DG
易证△ADG≌△CDF
∴∠ADG=∠CDF,DG=DF
∴∠EDG=45°=∠EDF
又DE=DE
∴△EDG≌△EDF
∴EF=EG=AG+AE=AE+CF
得证
证明:将△DAE顺时针旋转90º,得到△DCG。 ∴GC=AE,∴GF=AE+CF. ∵∠GDE=90°(旋转角),∠EDF=45°, ∴∠GDF=45°, ∴∠GDF=∠EDF, 又DG=DE,DF=DF, ∴△DGF≅△DEF,∴EF=GF, ∴EF=AE+CF
将△DCF逆时针旋转90度后为△DAG,,则角GDE=45度,在ΔGDE和ΔFDE中,DG=DF,DG为公共边,角GDE=角FDE,所以ΔGDE和ΔFDE全等,可证EF=EG=GA+AE,即EF=AE+CF