作业帮2²+3²+4²+...+n²是个什么数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/06/21 10:51:22
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2²+3²+4²+...+n²是个什么数列
2²+3²+4²+...+n²是个什么数列
2²+3²+4²+...+n²是个什么数列
高中知识,非等比等差,就是一种特殊数列.
1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
证明如下：
不妨设1²＋2²＋3²＋……＋n²＝S
利用恒等式(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1,得：
(n＋1)³－n³＝3n²＋3n＋1
n³－(n－1)³＝3(n－1)²＋3(n－1)＋1
………………………………
3³－2³＝3·2²＋3·2＋1
2³－1³＝3·1²＋3·1＋1
将这n个式子两端分别相加,得：
(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n
由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2
代入上式,得：
n³＋3n²＋3n＝3S＋3/2×n(n＋1)＋n
整理后得S＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
即1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
这不是前n项和麽 不是等差也不是等比