已知函数f(x)=x²－2|x|+2的定义域为[a,b](其中a﹤b),值域为[2a,2b],则符合条件的数组(a,b)为要详尽一些

已知函数f(x)=x²－2|x|+2的定义域为[a,b](其中a﹤b),值域为[2a,2b],则符合条件的数组(a,b)为要详尽一些
已知函数f(x)=x²－2|x|+2的定义域为[a,b](其中a﹤b),值域为[2a,2b],则符合条件的数组(a,b)为
要详尽一些

已知函数f(x)=x²－2|x|+2的定义域为[a,b](其中a﹤b),值域为[2a,2b],则符合条件的数组(a,b)为要详尽一些
首先
f(x)=|x|^2-2|x|+2
     =(|x|-1)^2+1≥1
把|x|看成变量的话,这是一开口向上的对称轴为1的抛物线
所以
2a≥1
a≥1/2


分类讨论

1/2≤a<b<1
所以|b|>|a|且x=b更接近于对称轴
所以f(a)=2b,f(b)=2a
即a^2-2a+2=2b
b^2-2b+2=2a
两者一减
(a-b)(a+b)-2(a-b)=2(b-a)
(a-b)(a+b)=0
因为a<b,a-b≠0,而b>a≥1/2,a+b>0
所以不可能

1/2≤a<1<b
所以最小值即为顶点,2a=1,a=1/2
有两种可能
(i) b-1<1-a,即a离对称轴更远
所以最大值为f(a)=2b,2b=5/4,b=5/8<1矛盾
(ii) b-1>1-a,即b离对称轴更远
所以最大值为f(b)=2b,b^2-4b+2=0,b=2+根号2  (舍去小于1的根)

1<a<b
所以最大值是f(b)=2b
最小值是f(a)=2a
b^2-2b+2=2b
a^2-2a+2=2a
a,b必然有一根小于1,矛盾



综上
a=1/2,b=2+根号2