设函数f(x)=ax-(1+a²)x²其中a>0区间I={x|f(x)>0} 1.求I的长度[注:区间(m,n)的长度定义为n-m]2.给定常数k∈(0,1)当1-k≤a≤1+k,求I长度的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/17 07:40:40
![设函数f(x)=ax-(1+a²)x²其中a>0区间I={x|f(x)>0} 1.求I的长度[注:区间(m,n)的长度定义为n-m]2.给定常数k∈(0,1)当1-k≤a≤1+k,求I长度的最小值](/uploads/image/z/1748934-54-4.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax-%281%2Ba%26%23178%3B%29x%26%23178%3B%E5%85%B6%E4%B8%ADa%3E0%E5%8C%BA%E9%97%B4I%3D%7Bx%7Cf%28x%29%3E0%7D+1.%E6%B1%82I%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%5B%E6%B3%A8%EF%BC%9A%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%88m%2Cn%29%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%BAn-m%5D2.%E7%BB%99%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E6%95%B0k%E2%88%88%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E5%BD%931-k%E2%89%A4a%E2%89%A41%2Bk%2C%E6%B1%82I%E9%95%BF%E5%BA%A6%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC)
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设函数f(x)=ax-(1+a²)x²其中a>0区间I={x|f(x)>0} 1.求I的长度[注:区间(m,n)的长度定义为n-m]2.给定常数k∈(0,1)当1-k≤a≤1+k,求I长度的最小值
设函数f(x)=ax-(1+a²)x²其中a>0区间I={x|f(x)>0}
1.求I的长度[注:区间(m,n)的长度定义为n-m]
2.给定常数k∈(0,1)当1-k≤a≤1+k,求I长度的最小值
设函数f(x)=ax-(1+a²)x²其中a>0区间I={x|f(x)>0} 1.求I的长度[注:区间(m,n)的长度定义为n-m]2.给定常数k∈(0,1)当1-k≤a≤1+k,求I长度的最小值
(1) 令 f(x)=ax-(1+a²)x²= -x[(1+a²)x-a]=0,
得 x=0 或 x=a/(1+a²)
因为 a>0,-(1+a²)<0
所以 I={x|0<x<a/(1+a²)}
其长度为 a/(1+a²)
(2) 长度 a/(1+a²)=1/(a+1/a)≤1/[2√(a·1/a)]=1/2
当 a=1/a 即 a=1 时长度最大为1/2,所以a/(1+a²)在(0,1)单调增,在(1,+∞)单调减,
而当k ∈(0,1)时,1-k<1 而 1+k>1,
所以a/(1+a²)在 a=1-k 或 a=1+k 取得最小值.
又 (1-k)/[1+(1-k)²]- (1+k)/[1+(1+k)²]= -3k³/{[1+(1-k)²]·[1+(1+k)²]}<0
所以 I 长度的最小值为 (1-k)/[1+(1-k)²]