设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2(1)求证;f(x)是周期函数(2)当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 12:10:53
![设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2(1)求证;f(x)是周期函数(2)当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)](/uploads/image/z/1050976-64-6.jpg?t=%E8%AE%BEf%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%AE%9E%E6%95%B0x%2C%E6%81%92%E6%9C%89f%28x%2B2%29%3D-f%28x%29%E5%BD%93x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%5B0%2C2%5D%E6%97%B6%2Cf%28x%29%3D2x-x%5E2%281%29%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Bf%28x%29%E6%98%AF%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%93x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%5B2%2C4%5D%E6%97%B6%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%EF%BC%883%EF%BC%89%E8%AE%A1%E7%AE%97f%280%29%2Bf%281%29%2Bf%282%29%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Bf%282008%29)
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2(1)求证;f(x)是周期函数(2)当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)
当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2
(1)求证;f(x)是周期函数
(2)当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2(1)求证;f(x)是周期函数(2)当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)
(1)由于f(x+2)=-f(x),那么(用x+2代替x,可以得到)f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
则f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数
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(2)由题设我们知道x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],那么f(-x)=2*(-x)-(-x)^2=-2x-x^2
又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)
可以得到 在x∈[-2,0]时,f(x)=-(-2x-x^2)=2x+x^2
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x∈[2,4],那么x-4∈[-2,0],那么f(x-4)=2(x-4)+(x-4)^2=x^2-6x+8
由于f(x)的周期是4,所以f(x)=f(x-4)=x^2-6x+8
因此,在x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
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(3)由x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2,
得到f(0)=f(4)=f(8)=……=0
f(1)=f(5)=f(9)=……=1
由x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
得到f(2)=f(6)=f(10)=……0
f(3)=f(7)=f(11)=……-1
f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)总共是2009个f()相加,每四个的和为0,所以前2008个的和都为0,f(2008)=f(0+4*502)=f(0)=0
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)=0