如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点(1)证明:AP^2+PB*PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100),求M1+M2+M3……+M100的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 18:07:49
![如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点(1)证明:AP^2+PB*PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100),求M1+M2+M3……+M100的值](/uploads/image/z/10430067-3-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CAB%3DAC%3D4%2CP%E4%B8%BABC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E7%82%B9%281%29%E8%AF%81%E6%98%8E%3AAP%5E2%2BPB%2APC%3D16%282%29%E8%8B%A5BC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E6%9C%89100%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E7%82%B9%28%E4%B8%8D%E4%B8%8EB%E5%92%8CC%E9%87%8D%E5%90%88%29P1%E3%80%81P2%E2%80%A6%E2%80%A6P100%2C%E8%AE%BEMi%3DAPi%5E2%2BPiB%2APC%28i%3D1%2C2%E2%80%A6%E2%80%A6%2C100%EF%BC%89%2C%E6%B1%82M1%2BM2%2BM3%E2%80%A6%E2%80%A6%2BM100%E7%9A%84%E5%80%BC)
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点(1)证明:AP^2+PB*PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100),求M1+M2+M3……+M100的值
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点
(1)证明:AP^2+PB*PC=16
(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100),求M1+M2+M3……+M100的值
如图所示,在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点(1)证明:AP^2+PB*PC=16(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100,设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……,100),求M1+M2+M3……+M100的值
1、作BC中点O,连接AO,有BO=CO,设P在OC上,有BP=BO+OP,CP=CO-OP=BO-OP,则BP*CP=BO^2-OP^2,而AB^2=AO^2+BO^2,则16=AB^2=(AO^2+OP^2)+(BO^2-OP^2)=AP^2+BP*CP.
2、由P的任意性知:Mi=16,答案=1600
1、作AD垂直BC于D
在Rt△ADP中,
AP²=AD²+DP²
在Rt△ABD中,
AB²=BD²+AD²
∴AB²-AP²=(BD²+AD²)-(AD²+DP²)=BD²-DP²=(BD-DP)×(BD+DP)
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1、作AD垂直BC于D
在Rt△ADP中,
AP²=AD²+DP²
在Rt△ABD中,
AB²=BD²+AD²
∴AB²-AP²=(BD²+AD²)-(AD²+DP²)=BD²-DP²=(BD-DP)×(BD+DP)
∵AB=AC=4且AD垂直BC
∴BD=CD
∴BD-DP=PC,BD+DP=BP
∴AB²-AP²=BP×PC
2、M1+M2+M3……+M100
=(AP1²+P1B×P1C)+(AP2²+P2B×P2C)……(AP100²+P100B×P100C)
=(AP1²+AB²-AP1²)+(AP2²+AB²-AP2²)……(AP100²+AB²-AP100)
=100AB²
∵AB=4
∴AB²=16
∴M1+M2+M3……+M100=100AB²=100×16=1600
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